Direct Image 的性質與應用
前言
在集合論中，直接像（Direct Image）是函數在兩個集合之間映射時所產生的一個重要概念。它描述了如何從一個集合 \(A\) 的子集經過函數映射到另一個集合 \(B\) 的子集中。本篇文章將探討直接像的定義與性質，並說明其在數學中的應用。
定義
給定一個函數 \(f: A \rightarrow B\)，以及 \(A\) 的一個子集 \(U\)，則直接像 \(f(U)\) 是 \(B\) 的一個子集，由 \(f(u)\) 構成，其中 \(u \in U\)。簡單來說，\(f(U)\) 包含了所有 \(B\) 中對應於 \(U\) 中元素的結果。
數學表示為：
\[ \begin{equation} \label{eq1} f(U) = \{ f(u) \ | \ u \in U \} \end{equation} \]
Direct Image 的性質
1. 聯集性質
對於 \(A\) 的任意子集集合 \(\{U_i\}_{i \in I}\)，有：
\[ \begin{equation} \label{eq2} f\left(\bigcup_{i \in I} U_i\right) = \bigcup_{i \in I} f(U_i) \end{equation} \]
這表示 \(f\) 保留了聯集的結構。
2. 交集性質
對於 \(A\) 的任意子集集合 \(\{U_i\}_{i \in I}\)，有：
\[ \begin{equation} \label{eq3} f\left(\bigcap_{i \in I} U_i\right) \subseteq \bigcap_{i \in I} f(U_i) \end{equation} \]
交集的直接像包含於直接像的交集中。
3. 差集性質
對於 \(A\) 的任意子集 \(U\) 和 \(V\)，有：
\[ \begin{equation} \label{eq4} f(V \setminus U) \supseteq f(V) \setminus f(U) \end{equation} \]
差集的直接像包含於直接像的差集中。
4. 補集性質
若 \(U^C\) 為 \(U\) 的補集，則：
\[ \begin{equation} \label{eq5} f(U^C) \supseteq f(A) \setminus f(U) \end{equation} \]
補集的直接像包含於直接像的補集中。
5. 子集性質
若 \(U \subseteq V \subseteq A\)，則：
\[ \begin{equation} \label{eq6} f(U) \subseteq f(V) \end{equation} \]
6. 逆像的直接像
對於 \(A\) 的任意子集 \(U\)，有：
\[ \begin{equation} \label{eq7} f^{-1}(f(U)) \supseteq U \end{equation} \]
當 \(f\) 是單射時，等式成立。
7. 逆像的直接像
對於 \(B\) 的任意子集 \(V\)，有：
\[ \begin{equation} \label{eq8} f(f^{-1}(V)) \subseteq V \end{equation} \]
當 \(f\) 是滿射時，等式成立。
結論
直接像在集合論和數學的其他分支中有著重要的應用，了解其性質有助於更好地理解函數如何作用於集合之間。透過這些性質，我們可以更深入地探討集合與函數的交互關係，為後續更複雜的數學理論打下基礎。
換句話說，\(U\) 是 \(A\) 的一小部分，而經過函數 \(f\) 映射後，\(U\) 變成了 \(B\) 的一部分。這個過程揭示了集合之間的轉換關係，也是直接像這一概念的核心。